Probabilidad

Una de las características más especiales de los seres humanos, que nos diferencia del resto de animales, es nuestra capacidad de “predicción”, de anticiparnos a los acontecimientos que van a ocurrir. A veces fallamos, pero otras muchas no. Esta capacidad nos ha permitido llegar hasta donde estamos hoy, pudiendo predecir tanto peligros como oportunidades.

Piénsalo, nuestros antepasado que eran capaces de predecir el ataque de un depredador fueron los que sobrevivieron. Ahora, decenas de miles de años después hemos dado un paso más y nos preguntamos ¿Qué es la probabilidad?

La probabilidad es el cálculo matemático que evalúa las posibilidades que existen de que una cosa suceda cuando interviene el azar.

Para calcular la probabilidad, continuando con el ejemplo anterior, no hay más que contar los coches que hay de cada color. Como 6 de los 7 coches del aparcamiento son rojos, podemos plantearlo como una fracción: la probabilidad de que del aparcamiento salga un coche rojo será una fracción con numerador 6 (el número de coches rojos) y denominador 7 (el número total de coches).

La probabilidad de que salga un coche rojo sería igual a 67. La probabilidad de que salga un coche amarillo sería igual a 17. La probabilidad de que salga un coche azul sería 0, porque no hay coches azules aparcados.

Generalizando esta idea llegamos a cómo se calcula la probabilidad: con una fracción que se suele llamar regla de Laplace. Ponemos en el numerador el número de casos favorables y en el denominador el número de casos posibles.

La probabilidad se utiliza en muchas áreas como las matemáticas, la estadística, la física, la economía, las ciencias sociales, entre otras. Los primeros estudios de probabilidad se desarrollaron para resolver problemas de juegos y es allí dónde más se nota su uso, porque te puede servir para tener más oportunidades de ganar, o para ahorrarnos dinero (al no jugar a juegos en los que es muy probable perder).

https://www.smartick.es/blog/matematicas/probabilidad-y-estadistica/probabilidad-que-es

Derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos.  Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

Definición de derivadas

La derivada de la función  con respecto a la variable , en el punto  es:

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

¿Cómo se escriben las derivadas de las funciones?

La forma de escribir correctamente la derivada de una función es la siguiente:

en esta expresión queda perfectamente patente que estamos derivando la función  respecto a la variable . Cualquiera de las tres expresiones de la derivada con respecto a  es totalmente correcta. La función a derivar suele llamarse normalmente  ó . Sin embargo, es muy frecuente encontrar la siguiente notación o forma de escribir las derivadas:

Ambas expresiones de la derivada son correctas y si bien la fórmula anterior es la más utilizada por su sencillez, no queda reflejada respecto a qué variable se deriva, aunque está implícito. Para terminar, diremos que ambas notaciones son correctas y que se usan indistintamente en la bibliografía existente, pudiendo afirmar que:

lo que es equivalente a la siguiente expresión dependiendo de cómo se llame la función  ó :

Cálculo de las derivadas a partir de la definición

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama diferenciación. Siempre se deriva o diferencia, se usa mayoritariamente la primera palabra, respecto a una variable, normalmente  , de forma genérica y una vez que hemos obtenido la derivada sustituimos en la  el punto donde queremos calcular la derivada, particularizando así el valor de ésta. La forma de calcular la derivada usando la definición consiste en aplicar la fórmula de la definición. 

Derivadas

Funciones

Una función matemática (también llamada simplemente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda.

Por ejemplo, si decimos que el valor de la temperatura del día depende de la hora a la que la consultemos, estaremos sin saberlo estableciendo entre ambas cosas una función. Ambas magnitudes son variables, pero se distinguen entre:

• Variable dependiente. Es la que depende del valor de la otra magnitud. En el caso del ejemplo, es la temperatura.
• Variable independiente. Es la que define la variable dependiente. En el caso del ejemplo es la hora.

De esta manera, toda función matemática consiste en la relación entre un elemento de un grupo A y otro elemento de un grupo B, siempre que se vinculen de manera única y exclusiva. 

En donde A representa el dominio de la función (f), el conjunto de elementos de partida, mientras que B es el codominio de la función, o sea, el conjunto de llegada. Por f(a) se denota la relación entre un objeto arbitrario a perteneciente al dominio A, y el único objeto de B que le corresponde (su imagen).

Estas funciones matemáticas también pueden representarse como ecuaciones, acudiendo a variables y signos aritméticos para expresar la relación existente entre las magnitudes. Dichas ecuaciones, a su vez, podrán resolverse, despejando sus incógnitas, o bien ser graficadas geométricamente.

Las funciones matemáticas pueden clasificarse de acuerdo al tipo de correspondencia que se da entre los elementos del dominio A y los de B, teniendo así lo siguiente:

• Función inyectiva. Cualquier función será inyectiva si elementos distintos del dominio A se corresponden con elementos distintos del B, es decir, que ningún elemento del dominio se corresponde con la misma imagen de otro.
• Función sobreyectiva. Similarmente, hablaremos de una función sobreyectiva (o subyectiva) cuando a cada elemento del dominio A le corresponde una imagen en el B, incluso si ello implica compartir imágenes.
• Función biyectiva. Ocurre cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, cuando a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B, y no quedan en el codominio imágenes sin asociar, o sea, no hay elementos en B que no correspondan a uno en A.

Vectores

Los vectores son segmentos de una línea recta que están orientados dentro de un plano bidimensional o tridimensional, también conocido como un espacio vectorial. Su expresión matemática se representa mediante una letra con una flecha en la parte superior y, a nivel gráfico,también se utiliza el recurso de la fecha para señalarlos.

Los vectores pueden representar magnitudes físicas con intensidad y dirección, como la fuerza, el desplazamiento y la velocidad. Además, suelen representarse en planos a través de coordenadas.

En líneas generales, los vectores tienen las siguientes características:

• Sentido: viene representado por la punta de la flecha que se expresa gráficamente, indicando el lugar hacia el cual se dirige el vector.
• Dirección: es la recta sobre la que se plantea el vector, la cual es continua e infinita en el espacio.
• Módulo: se trata de la longitud entre el inicio y fin del vector, es decir, dónde empieza y dónde termina la flecha.
• Amplitud: es la expresión numérica de la longitud gráfica del vector.
• Punto de aplicación: se refiere al lugar geométrico en el que inicia el vector a nivel gráfico.
• Nombre: es la letra que acompaña al vector que se representa gráficamente, coincidiendo con la magnitud o con la suma del punto de aplicación y el fin de su valor.

Los vectores pueden clasificarse en:

• Vectores unitarios: cuya longitud es la unidad, es decir, que su módulo es igual a uno.
• Vectores libres: son los que tienen un mismo sentido, dirección y módulo, por lo que su punto de aplicación es libre o no está definido.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación se puede deslizar en una recta, sin que se consideren vectores diferentes.
• Vectores fijos o ligados: aplicados a un determinado punto.
• Vectores concurrentes o angulares: sus líneas de acción pasan por un mismo punto, formando un ángulo entre ellas.
• Vectores paralelos: las líneas del vector son paralelas.
• Vectores opuestos: aunque son de igual dirección y magnitud, tienen sentidos contrarios.
• Vectores colineales: comparten una misma recta de acción.
• Vectores coplanarios: son los vectores cuyas rectas de acción están ubicadas en un mismo plano.
• Vectores axiales (también conocidos como pseudovectores): son aquellos cuya dirección señala un eje de rotación, es decir, que están ligados a un efecto de giro. 

En física, existen dos tipos de magnitudes: las escalares y las vectoriales. Las primeras son aquellas que están señaladas con un número y sus unidades, mientras que las segundas, además de estar representadas por un valor numérico, se identifican con un sentido y dirección.

La elección de escalares o vectoriales para determinar la magnitud física dependerá de la naturaleza de lo que se está midiendo o calculando. Por ejemplo, para describir temperaturas, densidades o masas, se utiliza el recurso de la representación numérica, entendiéndose como magnitudes escalares. No obstante, para calcular velocidades, fuerzas, aceleración, energía térmica, pesos o potencias, se utilizan vectores.

Vectores

Método de Gauss en sistemas de ecuaciones

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Tomando el sistema siguiente, lo vamos a resolver paso por paso usando el método de Gauss

Procedimiento

1 Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :  ó , en caso de que no fuera posible lo haremos con  o , cambiando el orden de las incógnitas.

2 Hacemos reducción con la  y  ecuación, para eliminar el término en  de la  ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3 Hacemos lo mismo con la ecuación  y  ecuación, para eliminar el término en .

4 Tomamos las ecuaciones  y , trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en .

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontramos las soluciones.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/sistema-de-tres-ecuaciones-con-tres-incognitas.html

Matemáticas

Bienvenidos a la sección de matemáticas, donde en este blog os contaremos todo lo relacionado con el mundo de las matemáticas (para qué sirven, que se estudia en esta asignatura, opiniones,…).

La palabra matemáticas tiene su origen en el latín mathematĭca, derivado de máthēma, cuyo significado es conocimiento, disciplina o enseñanza.

Vamos a hablar sobre las matrices, que es el tema que estamos dado en este principio de curso 23-24.

Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal. 

Algunos de los conceptos necesarios para completar la definición y el análisis de las matrices son:

• Elementos: son los números que conforman la matriz.
• Dimensión: se trata del resultado del número de filas por el número de columnas. Se designa la m al número de filas y n al número de columnas. 
• Anillos: se trata de un término propio del álgebra y hace referencia al sistema formado por un conjunto de operaciones internas que responden a una serie de propiedades. Las matrices se entienden como elementos de un anillo.
• Función: se trata de una regla de correspondencia entre dos conjuntos en el que un elemento del primer conjunto se corresponde, exclusivamente, con un solo elemento el segundo conjunto.

Las matrices tienen múltiples aplicaciones, sobre todo para representar coeficientes en sistemas de ecuaciones o aplicaciones lineales, pudiendo desempeñar la matriz la misma función que los datos de un vector en un sistema de aplicación lineal.  En función a esto, algunas de las aplicaciones pueden ser:

1. En informática: es uno de los campos en los que más se utilizan las matrices por su eficacia en la manipulación de información. Las matrices son ideales para representaciones gráficas y para la animación de formas.
2. En robótica: se utilizan matrices para programar robots que pueden ejecutar diferentes tareas. Un ejemplo de ello es un brazo biónico que, a través de procesos mecánicos programables, puede cumplir funciones parecidas a las de un brazo humano. Toda esta programación es resultados de cálculo por medio de matrices.

Matrices